Question

函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（0）=0，当x＞0时，f（x）=log 

1

2

x．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式f（x²-1）＞-2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可以设x＜0，然后利用函数的奇偶性转化到-x＞0，利用已知求出x＜0时的解析式即可．用-x代换x，然后写出整个定义域上的函数的解析式．
（Ⅱ）根据f（x）=log

1

2

(-x)在（-∞，0]上为增函数，结合奇偶性得出f（x）在（0，+∞）上为减函数，将f（a-1）＜-1=f（1）转化成绝对值不等式|a-1|＞1，解之即得．

解答：解：（Ⅰ）∵当x＞0时，f（x）=log 

1

2

x，
当x＜0时，则-x＞0，
∴f（-x）=log

1

2

(-x)，
∵函数是偶函数，
∴f（-x）=f（x）．
∴f（x）=log

1

2

(-x)，x＜0
又f（0）=0，
∴f（x）=

log 1 2 x，x＞0 0，x=0 log 1 2 (-x)，x＜0

．
（Ⅱ）∵f（4）=log

1

2

4=-2，函数f（x）是偶函数，
∴不等式转化为f（|x²-1|）＞f（4）
又∵f（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴|x²-1|＜4，
解得：-

5

＜x＜

5

．
∴不等式的解集为（-

5

，

5

）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，函数的奇偶性，函数的解析式的求法，分段函数的概念，奇偶性与单调性的综合应用．本题要做出整体代换，