Question

（2013•昌平区一模）已知函数f（x）=（2

3

sinx-2cosx）•cosx+1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[

π

4

，

π

2

]上的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为 2sin（2x-

π

6

），再根据三角函数的周期性求得f（x）的最小正周期．
（II）由 x∈[

π

4

，

π

2

]，可得 2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，再由正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．

解答：解：（Ⅰ）因为函数f（x）=（2

3

sinx-2cosx）•cosx+1=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

）．…（5分）
所以，f（x）的最小正周期 T=

2π

2

=π．…（7分）
（II）由 x∈[

π

4

，

π

2

]，可得 2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，…..（9分）
当2x-

π

6

=

5π

6

 时，函数f（x）取得最小值为1，…．（11分）
当2x-

π

6

=

π

2

时，函数f（x）取得最大值为2．…．（13分）

点评：本题主要考查三角恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．