Question

集合A是由适合以下性质的函数f（x）构成的：对于任意的，且u、υ∈（﹣1，1），都有|f（u）﹣f（υ）|≤3|u﹣υ|．
（1）判断函数 是否在集合A中？并说明理由；
（2）设函数f（x）=ax²+bx，且f（x）∈A，试求2a+b的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若f（2）=6，且对于满足（2）的每个实数a，存在最小的实数m，使得当x∈[m，2]时，|f（x）|≤6恒成立，试求用a表示m的表达式．

Answer 1

解：（1）f₁（x）∈A，任取u、υ∈（﹣1，1），且u≠υ，则
因为|u|＜，|υ|＜，且|u+υ|≤|u|+|υ|
所以＜1
所以|f₁（u）﹣f₁（2）|＜|u﹣υ|＜3|u﹣υ|，亦即f₁（x）∈A
（2）因为f（x）=ax²+bx属于集合A，所以，任取u、υ∈（﹣1，1）且u≠υ，
则3|u﹣υ|≥|f（u）﹣f（υ）|=|（u﹣υ）（au+aυ+b）|，也即|au+aυ+b|≤3  ①
设t=u+υ，则上式化为|at+b|≤3②
因为u，υ∈（﹣1，1），所以﹣2＜t＜2
①式对任意的u，υ∈（﹣1，1）恒成立，即②式对t∈（﹣2，2）恒成立可以证明|2a|+|b|≤3，所以|2a+b|≤3，
即2a+b∈[﹣3，3]
（3）由f（2）=6可知2a+b=3
又由（2）可知﹣3≤2a+b≤3，所以 ，
当a=0时，b=3，f（x）=3x在[m，2]上为单调递增函数，f（m）=3m，f（2）=4
令3m=﹣6，可得m=﹣2
当a＞0时，．
此时，，
且当x∈R时f（x）的最小值为
若，即时，m为方程f（x）=6的较小根，
所以
若＜﹣6，即0＜a＜时，
由于f（x）在上单调递增，
所以m为方程f（x）=﹣6的较大根，所以，
综上可知，m=