题目内容

以下命题：
①若|
a
•
b
|=|
a
|•|
b
|，则
a
∥
b
；
②
a
=（-1，1）在
b
=（3，4）方向上的投影为
1
5
；
③若△ABC中，a=5，b=8，c=7，则
BC
•
CA
=20；
④若非零向量
a
、
b
满足|
a
+
b
|=|
b
|，则|2
b
|＞|
a
+2
b
|．
⑤已知△ABC中，
PN
=
1
3
（
PA
+
PB
+
PC
）则向量λ（
AB
+
AC
）（λ≠0）所在直线必过N点．其中所有真命题的序号是
①②④
①②④
．
分析：①由|
a
•
b
|=|
a
|•|
b
|，知cos＜
a
，
b
＞=±1，由此能判断①的正误；
②
a
=（-1，1）在
b
=（3，4）方向上的投影为|
a
|•cos＜
a
，
b
＞，由此能判断②的正误；
③若△ABC中，由a=5，b=8，c=7，知cos∠ACB=
1
2
，由
BC
•
CA
=|
BC
|•|
CA
|•（-cos∠ACB）能求出结果；
④由|
a
+2
b
|=|
a
+
b
+
b
|≤|
a
+
b
|+|
b
|=2|
b
|，能推导出|2
b
|＞|
a
+2
b
|；
⑤△ABC中，设A（0，1），B（2，4）C（6，1），P（x，y），利用特值法能得到向量λ（
AB
+
AC
）（λ≠0）所在直线不一定过N点．
解答：解：①若|
a
•
b
|=|
a
|•|
b
|，则cos＜
a
，
b
＞=±1，
∴
a
∥
b
，故①正确；
②
a
=（-1，1）在
b
=（3，4）方向上的投影为|
a
|•cos＜
a
，
b
＞=
2
×
-3+4
2
×5
=
1
5
，故②正确；
③若△ABC中，∵a=5，b=8，c=7，
∴cos∠ACB=
64+25-49
2×5×8
=
1
2
，
∴
BC
•
CA
=|
BC
|•|
CA
|•（-cos∠ACB）=5×8×（-
1
2
）=-20，故③不正确；
④∵|
a
+2
b
|=|
a
+
b
+
b
|≤|
a
+
b
|+|
b
|=2|
b
|，
∵
a
，
b
是非零向量，
∴必有
a
+
b
≠
b
，
∴上式中等号不成立．
∴|2
b
|＞|
a
+2
b
|，故④正确；
⑤△ABC中，设A（0，1），B（2，4）C（6，1），P（x，y），
λ（
AB
+
AC
）=λ[（2，3）+（6，0）]=λ（8，3）=（8λ，3λ），
∵
PN
=
1
3
（
PA
+
PB
+
PC
），
∴（x2-x，y2-y ）=
1
3
（8-3x，6-3y）=（
8
3
-x，2-y），
∴N（
8
3
，2）．
∴向量λ（
AB
+
AC
）（λ≠0）所在直线不一定过N点，故⑤不正确．
故答案为：①②④．
点评：本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，注意平面向量知识的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
以下四个判断，正确的是（　　）
设
a
，
b
，
c
 是空间任意的非零向量，且相互不共线，则以下命题中：
①（
a
?
b
）?
c
-（
c
?
a
 ）?
b
=0；②|
a
|+|
b
|＞|
a
-
b
|；③若存在唯一实数组λ，μ，γ 使γ
c
=λ
a
+μ
b
，则
a
，
b
，
c
共面；④|
a
-
b
|?|
c
|=|
a
c
-
b
c
|．真命题的个数是（　　）
A、0B、1C、2D、3

以下命题正确的是

A．若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是棱台；

B．在中，若，则；

C．“”是“”的必要不充分条件；

D．“若且，则”的逆命题是真命题.

 

设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是

A．若，则             B．若，则

C．若，则              D．若，则

 

设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是

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