题目内容

（2012•武清区一模）已知函数f（x）=7
3
sinxcosx+7sin2x-
5
2
，x∈R．
（Ⅰ）若f（x）的单调区间（用开区间表示）；
（Ⅱ）若f（
a
2
-
π
6
）=1+4
3
，f（
a
2
-
5π
12
）=2，求sin（
a
2
-
π
3
）的值．
分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为7sin（2x-
π
6
）+1，令 2kπ-
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
π
2
，k∈z，求出增区间，由 2kπ+
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
3π
2
，k∈z，求出减区间．
（Ⅱ）由 f（
a
2
-
π
6
）=1+4
3
，求得cosa=
-4
3
7
．由f（
a
2
-
5π
12
）=2，求得sina=-
1
7
．可得a为第三象限角，故 
a
2
是第二或第四象限角．分类求出cos
a
2
 和sin
a
2
的值，利用两角差的正弦公式求出sin（
a
2
-
π
3
）的值．
解答：解：（Ⅰ）由题意得：函数f（x）=7
3
sinxcosx+7sin2x-
5
2
=
7
3
2
sin2x+7×
1-cos2x
2
-
5
2
 
=7（
3
2
sin2x-
1
2
cos2x）+1=7sin（2x-
π
6
）+1．
令 2kπ-
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
π
2
，k∈z，可得 kπ-
π
6
≤x≤kπ+
π
3
，k∈z，
故函数的增区间为[kπ-
π
6
，kπ+
π
3
]，k∈z．
令 2kπ+
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
3π
2
，k∈z，可得 kπ+
π
3
≤x≤kπ+
5π
6
，k∈z，
故函数的减区间为[kπ+
π
3
≤x≤kπ+
5π
6
]，k∈z．
（Ⅱ）∵f（
a
2
-
π
6
）=1+4
3
，
∴7sin[2（
a
2
-
π
6
）-
π
6
]+1=7sin（a-
π
2
）+1=-7cosa+1=1+4
3
，
∴cosa=
-4
3
7
．
∵f（
a
2
-
5π
12
）=2，∴7sin[2（
a
2
-
5π
12
）-
π
6
]+1=7sin[a-π]+1=-7sina+1=2，
∴sina=-
1
7
．
故a为第三象限角，且 2kπ+π＜a＜2kπ+
5π
4
，k∈z，故 kπ+
π
2
＜
a
2
＜kπ+
5π
8
，k∈z．
故 
a
2
是第二或第四象限角．
当 
a
2
是第二象限角时，sin 
a
2
=
1-cosa
2
=
7+4
3
14
=
2+
3
14
，
cos 
a
2
=-
1+cosa
2
=-
7-4
3
14
=-
2-
3
14
． 
sin（
a
2
-
π
3
）=sin 
a
2
 cos
π
3
-cos
a
2
sin
π
3
=
2+
3
14
×
1
2
-（ -
2-
3
14
）×
3
2
=
3
3
-1
2
14
．
当 
a
2
是第四象限角时，sin 
a
2
=-
1-cosa
2
=-
7+4
3
14
=-
2+
3
14
，
cos 
a
2
=
1+cosa
2
=
7-4
3
14
=
2-
3
14
． 
sin（
a
2
-
π
3
）=sin 
a
2
 cos
π
3
-cos
a
2
sin
π
3
=-
2+
3
14
×
1
2
-
2-
3
14
×
3
2
=
1-3
3
2
14
．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调区间的求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
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