题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．
（1）设椭圆的半焦距c=1，且a2，b2，c2成等差数列，求椭圆C的方程；
（2）设（1）中的椭圆C与直线y=kx+1相交于P、Q两点，求
OP
•
OQ
的取值范围．
分析：（1）由已知榀得a2=b2+1，且2b2=a2+1，进而求出a2=3，b2=2，
（2）将y=kx+1代入椭圆方程消掉y可得关于x的二次方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理可把
OP
•
OQ
表示为k的函数，根据基本函数的性质可求得
OP
•
OQ
的取值范围；
解答：解：（1）∵椭圆的半焦距c=1，
∴a2=b2+1，
又∵a2，b2，c2成等差数列，
∴2b2=a2+1，
解得a2=3，b2=2，
所以椭圆C的方程是
x2
3
+
y2
2
=1…（4分）
（2）将y=kx+1代入
x2
3
+
y2
2
=1得，
x2
3
+
(kx+1)2
2
=1
即化简得，（3k2+2）x2+6kx-3=0，△＞0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=-
6k
3k2+2
，x1x2=-
3
3k2+2
，…（6分）
∴
OP
•
OQ
=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1
=
-3(k2+1)
3k2+2
-
6k2
3k2+2
+1=
-6k2-1
3k2+2
=-2+
3
3k2+2
…（8分），
由k2≥0，得3k2+2≥2，0＜
3
3k2+2
≤
3
2
，
∴-2＜-2+
3
3k2+2
≤-
1
2
，
∴
OP
•
OQ
的取值范围是（-2，-
1
2
]…（12分）
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系、向量的数量积运算、椭圆方程的求解，考查椭圆中的不等式，考查学生分析问题解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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