Question

已知等差数列{a_n}的前n项的和记为S_n．如果a₄＝－12，a₈＝－4．

(1)求数列{a_n}的通项公式；(2)求S_n的最小值及其相应的n的值；

(3)从数列{a_n}中依次取出a₁，a₂，a₄，a₈，…，，…，构成一个新的数列{b_n}，

求{b_n}的前n项和

 

Answer 1

【答案】

解：（1）a_n＝2n－20．

（2）当n＝9或n＝10时，S_n取得最小值为S₉＝S₁₀＝－90．

（3）T_n＝2ⁿ⁺¹－20n－2．

【解析】本题考查等差数列的通项公式，及数列求和公式，本题解答中的亮点在于利用等差数列的通项公式分析S_n的最值，显然比利用其求和公式，通过二次函数的配方法求最值方便的多

（Ⅰ）可设等差数列{a_n}的公差为d，由a₄=-12，a₈=-4，可解得其首项与公差，从而可求得数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）得到数列{a_n}的通项公式a_n=2n-20，可由 a_n≤0和a_n+1≥0

求得n取何值时S_n取得最小值，然后由求和公式可求得答案；

（Ⅲ）根据题意求得b_n=a₂^n-1=-18+(2^n-1-1)×2=2ⁿ-20，利用分组求和法可求得数列{b_n}的前n项和为T_n．