题目内容

已知递增等比数列{b_n}满足b₂•b₄=64，b₅=32，数列{a_n}满足 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列c_n=na_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

解：（Ⅰ）∵递增等比数列{b_n}满足b₂•b₄=64，b₅=32，设公比为q，则有 $\text{[math]}$ q⁵=64，且 b₁q⁴=32，
解得 b₁=2，q=2，b_n=2ⁿ．
再由 {a_n}满足 $\text{[math]}$ ，可得 a_n=b_n+ $\text{[math]}$ =2ⁿ+ $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）∵数列c_n=na_n，∴c_n=n 2ⁿ+ $\text{[math]}$ ．
∴数列{c_n}的前n项和T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ+ $\text{[math]}$
令 s=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ ①，则 2s=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹ ②．
①-②可得-s=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴s=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，∴T_n=s+ $\text{[math]}$ =（n-1）2ⁿ⁺¹+2+ $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）设公比为q，则由题意可得 $\text{[math]}$ q⁵=64，且 b₁q⁴=32，解得 b₁ 和 q的值，可得等比数列{b_n}的通项公式，再由 {a_n}满足 $\text{[math]}$ ，求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由数列c_n=na_n，可得数列{c_n}的通项公式，从而求得数列{c_n}的前n项和T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ+ $\text{[math]}$ ．令 s=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，用错位相减法求出s的值，即可求得 T_n=s+ $\text{[math]}$ 的值．
点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，用错位相减法对数列进行求和，属于中档题．