Question

已知定义在R上的函数f（x） 满足条件：（1）f（x）+f（-x）=2；（2）对非零实数x，都有2f（x）+f（）=2x++3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=（x≥0）直线 y=n-x分别与函数f（x） 的反函数 交于A，B两点
（其中n∈N*），设 a_n=|A_nB_n|，s_n为数列a_n 的前n项和．求证：当n≥2 时，总有 S_n²＞2（）成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）令解析式中的x用代入，得到一个方程组，消去f（）可求出函数的解析式；
（2）先求出A_n的坐标，依题意得B_n与A_n关于y=x对称求出B_n的坐标，求出a_n，从而求出S_n，将s_n²-s_n-1²进行累加可求证得结论．
解答：解：（1）由②知x≠0时⇒
⇒f（x）=x+1（4分）
（2）g（x）=由⇒A_n（，）
依题意得B_n与A_n关于y=x对称⇒B_n（，）=（6分）
⇒s_n=+⇒s_n-s_n-1===s_n²-+（8分）
⇒s_n²-s_n-1²=（n≥2）累加得s_n²-s₁²=2（++）-（++）
⇒s_n²=2（++）+1-（++）（10分）
又1-（++）＞1-（++）=＞0
∴s_n²＞（12分）
点评：本题主要考查了函数解析式的求解，以及数列的通项公式和求和，同时考查了利用累加法证明不等式，属于难题．