Question

（2007•威海一模）已知函数f（x）=

1

2

[tln（x+2）-ln（x-2）]，且f（x）≥f（4）恒成立．
（1）求t的值；
（2）求x为何值时，f（x）在[3，7]上取得最大值；
（3）设F（x）=aln（x-1）-f（x），若F（x）是单调递增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f（4）是f（x）的最小值，求导函数，即可求得结论；
（2）令导函数等于0求出x的值，判断函数的单调性，进而可求出最大值．
（3）对函数f（x）进行求导，然后令导函数大于等于0在R上恒成立即可求出a的范围

解答：解：（1）f（4）是f（x）的最小值
对f（x）求导，有f'（x）=

1

2

（

t

x+2

-

1

x-2

），
∴x=4时，f'（x）=0，∴

t

4+2

-

1

4-2

=0，∴t=3；
（2）f'（x）=

1

2

(

3

x+2

-

1

x-2

)=

x-4

(x+2)(x-2)

∴在x∈（3，4）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调减，在x∈（4，7）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调增
∴求f（x）在[3，7]的最大值只要去比f（3）和f（7）的大小就可以了
∵f（3）=

3

2

ln5，f（7）=

3ln9

2

-

ln5

2

∴f（3）＞f（7），∴x=3时，f（x）在[3，7]上取得最大值，为

3

2

ln5；
（3）F′（x）=

a

x-1

-f′（x）=

a

x-1

-

x-4

(x+2)(x-2)

≥0在（2，+∞）上恒成立
∴

(a-1)x2+5x-4(a+1)

(x-1)(x+2)(x-2)

≥0在（2，+∞）上恒成立
∴（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
下面分情况讨论（a-1）x²+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）上恒成立时，a的解的情况．
当a-1＜0时，显然不可能有（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
当a-1=0时（a-1）x²+5x-4（a+1）=5x-8＞0在（2，+∞）上恒成立．
当a-1＞0时，又有两种情况：①5²+16（a-1）（a+1）≤0；
②-

5

2(a-1)

≤2且（a-1）×2²+5×2-4（a+1）≥0
由①得16a²+9≤0，无解；由②得a≥-

1

4

，a-1＞0，∴a＞1
综上所述各种情况，当a≥1时（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
∴所求的a的取值范围为[1，+∞）．

点评：本题考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．