题目内容
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2+c2=a2+bc，求：
（Ⅰ）A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．
（Ⅰ）A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．
分析：（Ⅰ）利用余弦定理列出关系式，将已知等式变形后代入求出cosA的值，即可确定出A的大小；
（Ⅱ）将a的值代入已知等式，变形后利用基本不等式求出bc的最大值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．
（Ⅱ）将a的值代入已知等式，变形后利用基本不等式求出bc的最大值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．
解答：解：（Ⅰ）由余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA，b2+c2-a2=bc，
∴cosA=
=
=
，
又A∈（0，π），∴A=
；
（II）∵a=2，∴b2+c2=4+bc，
又b2+c2≥2bc，
∴4+bc≥2bc，
∴bc≤4，
∴S△ABC=
bcsinA=
bc≤
，当且仅当b=c=2时取“=”，
则△ABC面积的最大值为
．
∴cosA=
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| bc |
| 2bc |
| 1 |
| 2 |
又A∈（0，π），∴A=
| π |
| 3 |
（II）∵a=2，∴b2+c2=4+bc，
又b2+c2≥2bc，
∴4+bc≥2bc，
∴bc≤4，
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
| 3 |
则△ABC面积的最大值为
| 3 |
点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
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