Question

已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积.

   

Answer 1

思路分析:本题主要考查三角函数的基础知识、余弦定理以及三角形的面积公式等.四边形为圆内接四边形,故四边形的对角互补,从而可知sinA=sinC,再结合四边形的四边已知,易求出四边形的两条对角线,从而求出其面积.

解:如图所示,连结BD,设四边形ABCD的面积为S,则

S=S_△ABD+S_△CBD

=AB·AD·sinA+BC·CD·sinC.

    又sinA=sinC(∵A、C互补),

∴S=(2×4+6×4)sinA=16sinA.

    又∵BD²=AB²+AD²-2AB·AD·cosA

=BC²+CD²-2BC·CD·cosC,

    且cosA=-cosC(∵A、C互补),

∴64cosA=-32,即cosA=-.

    又∵0°＜A＜180°,

∴A=120°,即sinA=,

∴S=16sinA=8.