题目内容
（2013•德州一模）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：
（1）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；
（2）生产一件元件A，若是正品可盈利80元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下．
（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于280元的概率；
（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．
| 测试指标 | [70，76） | [70，82） | [82，88） | [88，94） | [94，100] |
| 元件A | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
| 元件B | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
（2）生产一件元件A，若是正品可盈利80元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下．
（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于280元的概率；
（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．
分析：（1）查出正品数，利用古典概型的概率计算公式即可得出；
（2）（i）先求出生产5件元件B所获得的利润不少于280元的正品数，再利用二项分布列的计算公式即可得出．（ii）生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A次B次，利用相互独立事件的概率计算公式及数学期望的定义即可得出．
（2）（i）先求出生产5件元件B所获得的利润不少于280元的正品数，再利用二项分布列的计算公式即可得出．（ii）生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A次B次，利用相互独立事件的概率计算公式及数学期望的定义即可得出．
解答：解：（1）元件A为正品的概率约为
=
．
元件B为正品的概率约为
=
．
（2）（i）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5-n件．
依题意得 50n-10（5-n）≥140，解得 n≥
．
所以 n=4或n=5．
设“生产5件元件B所获得的利润不少于280元”为事件A，
则P（A）=C
（
）4×（1-
）+（
）5=
，
（ii）∵生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A次B次．
∴随机变量X的所有取值为180，90，60，-30．
∵P（X=180）=
×
=
；P（X=90）=（1-
）×
=
；P（X=60）=
×（1-
）=
；
P（X=-30）=（1-
）×（1-
）=
．
∴随机变量X的分布列为：
EX=180×
+90×
+60×
+（-30）×
=132．
| 40+32+8 |
| 100 |
| 4 |
| 5 |
元件B为正品的概率约为
| 40+29+6 |
| 100 |
| 3 |
| 4 |
（2）（i）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5-n件．
依题意得 50n-10（5-n）≥140，解得 n≥
| 19 |
| 6 |
所以 n=4或n=5．
设“生产5件元件B所获得的利润不少于280元”为事件A，
则P（A）=C
4 5 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 81 |
| 128 |
（ii）∵生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A次B次．
∴随机变量X的所有取值为180，90，60，-30．
∵P（X=180）=
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 20 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 5 |
P（X=-30）=（1-
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 20 |
∴随机变量X的分布列为：
| X | 180 | 90 | 60 | -30 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 20 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 20 |
点评：熟练掌握分类讨论的思想方法、古典概型的概率计算公式、相互独立事件的概率计算公式、数学期望的定义、二项分布列的计算公式是解题的关键．
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