Question

点P在曲线C：

x2

4

+y²=1上，若存在过P的直线交曲线C于A点，交直线l：x=4于B点，满足|PA|=|PB|或|PA|=|AB|，则称点P为“H点”，那么下列结论正确的是（　　）

• A、曲线C上的所有点都是“H点”
• B、曲线C上仅有有限个点是“H点”
• C、曲线C上的所有点都不是“H点”
• D、曲线C上有无穷多个点（但不是所有的点）是“H点”

Answer 1

分析：设出-2≤x_P＜x_A≤2，利用相似三角形求得x_P和x_A的关系，设出PA的方程与椭圆方程联立求得x_Ax_P的表达式，利用判别式大于0求得k和m的不等式关系，最后联立①②③求得x_A的范围，进而通过x_A＜1时，x_P=2x_A-4＜-2，故此时不存在H点，进而求得H点的横坐标取值范围，判断出题设的选项．

解答：解：由题意，P、A的位置关系对称，于是不妨设-2≤x_P＜x_A≤2，（此时PA=AB）．
由相似三角形，2|4-x_A|=|4-x_P|
即：x_P=2x_A-4…①
设PA：y=kx+m，与椭圆联立方程组，
解得
x_Ax_P=

m2-1

k2+ 1 4

…②
∵△＞0
4k²＞m²-1…③
联立①②③，得x_A²-2x_A＜

2

1+ 1 4k2

而0＜

2

1+ 1 4k2

＜2
即x_A²-2x_A＜2
即1-

3

≤x_A≤2
而当x_A＜1时，x_P=2x_A-4＜-2，故此时不存在H点
又因为P的位置可以和A互换（互换后即PA=PB），
所以H点的横坐标取值为[-2，0]U[1，2]
故选D

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系问题．解题的关键是求得H点的横坐标取值范围．