Question

【题目】如图，椭圆的左、右顶点分别为A、B，双曲线以A、B为顶点，焦距为，点P是上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为为坐标原点.

(1)求双曲线的方程；

(2)求点M的纵坐标的取值范围；

(3)是否存在定直线使得直线BP与直线OM关于直线对称？若存在，求直线的方程；若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在直线满足题意，详见解析

【解析】

（1）根据题意，得到，即可求得双曲线的方程；

（2）由在上单调递增，即可求得点的纵坐标的取值范围；

（3）求出，可得直线与关于直线对称，即可求解．

（1）由题意，椭圆的左、右顶点分别为，双曲线以A、B为顶点，焦距为，可得，所以，

所以双曲线的方程．

（2）由题意，设，

直线的方程为，

代入椭圆方程，整理，

所以或，所以，

所以在上单调递增，所以．

（3）由（1）双曲线的方程，

可得，同理,

所以，即，

设直线，则直线，解得，

所以直线与关于直线对称．