Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AC⊥BC，AC=BC=BB₁，点D是BC的中点．
（I）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求二面角B₁-AD-B的余弦值；
（Ⅲ）判断在线段B₁B上是否存在一点M，使得A₁M⊥B₁D？若存在，求出

B1M

B1B

的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得需要的各点的坐标，
（I）取B₁C₁的中点E，求出向量

A1C

，

DE

，利用向量法证得AC₁∥DE，进而再由线面平行的判定定理证得A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）分别求出平面B₁AD和平面ABD的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角B₁-AD-B的余弦值
（III）设M（0，1，h），求出向量

A1M

和

B1D

的坐标，根据A₁M⊥B₁D，可得

A1M

•

B1D

=0，由此构造h的方程解出h的值，可得结论．

解答：解：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AC⊥BC，
以C为坐标原点，CA，CB，CC₁分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系O-xyz
令AC=BC=BB₁=2
则A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，0），D（0，1，0），A₁（2，0，2），B₁（0，2，2），C₁（0，0，2）
（I）令E为AB₁的中点，则E（1，1，1）

A1C

=（-2，0，-2），

DE

=（1，0，1）
∴

A1C

=-

DE

∴

A1C

∥

DE

∴AC₁∥DE
又∵A₁C?平面AB₁D，DE?平面AB₁D；
∴A₁C∥平面AB₁D；
（II）根据直棱柱的几何特征可得特征可得

AA1

=（0，0，2）是平面ABD的一个法向量
设平面B₁AD的法向量为

m

=（x，y，z）
由

DE

=（1，0，1），

AD

=（-2，1，0）
∵

m • DE =0 m • AD =0

，即

x+z=0 -2x+y=0

令x=1，则

m

=（1，2，-1）
则二面角B₁-AD-B的平面角θ满足：
cosθ=

| m • AA1 |

| m |•| AA1 |

=

6

6

（III）设M（0，1，h），
则

A1M

=（-1，1，h-1），

B1D

=（0，-

1

2

，-1），
∵A₁M⊥B₁D，
∴

A1M

•

B1D

=-1×0+1×（-

1

2

）+（h-1）×1=0，
∴h=

1

2

．
∴M为所在线段中点，
∴

B1M

B1B

=

1

2

．

点评：本题考查直线与平面平行的性质，考查空间向量的数量积的应用，考查分析、证明与运算能力，属于中档题．