Question

若椭圆E₁：和椭圆E₂：满足，则称这两个椭圆相似，m称为其相似比．
（1）求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程；
（2）设过原点的一条射线l分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），
求的最大值和最小值；
（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆C₁：和C₂：交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若|OA|、|OP|、|OB|成等差数列，则点P的轨迹方程为”．请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，并给予证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根据定义得到有解得即可得到与椭圆相似的椭圆方程；
（2）先对射线与y轴重合时求出结论；再对射线不与坐标轴重合时，由椭圆的对称性，仅考查A、B在第一象限的情形，联立直线与两个椭圆方程分别求出线段的长度，再结合函数的单调性即可求出的最大值和最小值；（整理过程需小心避免出错）．
（3）分析出命题的基本条件为：椭圆、、m=2、等差，类比着写：①双曲线或抛物线； ②a，b或p； ③相似比为m；④等比，再加以证明即可．
解答：解：（1）设所求的椭圆方程为，则有解得
∴所要求的椭圆方程为
（2）①当射线与y轴重合时，=
②当射线不与坐标轴重合时，由椭圆的对称性，我们仅考察A、B在第一象限的情形．
设其方程为y=kx（k≥0，x＞0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由解得

由解得，
∴
∴=
令则由知
∴=
记，则f（t）在上是增函数，∴，
∴
由①②知，的最大值为，的最小值为．
（3）本题根据学生提出和解决问题的质量评分
命题结构：条件⇒结论
条件由四部分组成：

其中基本条件为：椭圆、、m=2、等差，
得分条件为：①双曲线或抛物线； ②a，b或p； ③相似比为m；④等比．
例1：①双曲线+②a，b+③相似比为m+等差
过原点的一条射线分别与两条双曲线C₁：和C₂：（m＞0）交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若|OA|、|OP|、|OB|成等差数列，则点P的轨迹方程为
证明：∵射线l与双曲线有交点，不妨设其斜率为k，显然．
设射线l的方程为y=kx，设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、p（x，y）
由解得  ，
由解得  
由P点在射线l上，且2|OP|=|OA|+|OB|得即
得
例2：①抛物线+②p+③相似比为m+等差
过原点的一条射线分别与两条抛物线C₁：y²=2px（p＞0）和C₂：y²=2mpx（m＞0）相交于异于原点的A、B两点，P为线段AB上的一点，若|OA|、|OP|、|OB|成等差数列，则点P的轨迹方程为y²=（1+m）px
证明：∵射线l与抛物线有异于原点的交点，不妨设其斜率为k．
设射线l的方程为y=kx，设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、p（x，y）
由解得  ，
由解得  
由P点在射线l上，且2|OP|=|OA|+|OB|得即
得 y²=（1+m）px
点评：本题综合考查直线和椭圆的位置关系，难度较大，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．