Question

如图，正△ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于B₁、C₁.将△AB₁C₁沿B₁C₁折起到△A₁B₁C₁的位置，使点A₁在平面BB₁C₁C上的射影恰是线段BC的中点M,求：?

(1)二面角A₁-B₁C-₁M的大小；?

(2)异面直线A₁B₁与CC₁所成角的大小(用反三角函数表示).

Answer 1

解析：(1)连结AM、A₁G，?

∵G是正三角形ABC的中心，且M为BC的中点，?

∴A、G、M三点共线，AM⊥BC.?

∵B₁C₁∥BC,∴B₁C₁⊥AM于G，?

即GM⊥B₁C₁，GA₁⊥B₁C₁.?

∴∠A₁GM是二面角A₁-B₁C₁-M的平面角.?

∵点A₁在平面BB₁C₁C上的射影为M，?

∴A₁M⊥MG,∠A₁MG=90°.?

在Rt△A₁GM中，由A₁G=AG=2GM，得∠A₁GM=60°，即二面角A₁-B₁C₁-M的大小是60°.?

(2)过B₁作C₁C的平行线交BC于P，则∠A₁B₁P等于异面直线A₁B₁与CC₁所成的角.?

由PB₁C₁C是平行四边形得B₁P=C₁C=1=BP，PM=BM-BP=,A₁B₁=AB₁=2.?

∵A₁M⊥面BB₁C₁C于M，?

∴A₁M⊥BC,∠A₁MP=90°.?

在Rt△A₁GM中，A₁M=A₁G·sin60°=.?

在Rt△A₁MP中，A₁P²=A₁M²+PM²=.?

在△A₁B₁P中，由余弦定理得?

cos∠A₁B₁P=,?

∴异面直线A₁B₁与CC₁所成角的大小为arccos.