题目内容

已知定义在[1，4]上的函数f（x）=x²-2bx+ $数学公式$ （b≥1），
（ I）求f（x）的最小值g（b）；
（ II）求g（b）的最大值M．

解：f（x）=（x-b）²-b²+ $\text{[math]}$ 的对称轴为直线x=b（b≥1），
（ I）①当1≤b≤4时，g（b）=f（b）=-b²+ $\text{[math]}$ ；
②当b＞4时，g（b）=f（4）=16- $\text{[math]}$ ，
综上所述，f（x）的最小值g（b）= $\text{[math]}$ ．
（ II）①当1≤b≤4时，g（b）=-b²+ $\text{[math]}$ =-（b- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
∴当b=1时，M=g（1）=- $\text{[math]}$ ；
②当b＞4时，g（b）=16- $\text{[math]}$ 是减函数，∴g（b）＜16- $\text{[math]}$ ×4=-15＜- $\text{[math]}$ ，
综上所述，g（b）的最大值M=- $\text{[math]}$ ．
分析：（I）由已知中函数的解析式，可得f（x）=（x-b）²-b²+ $\text{[math]}$ 的对称轴为直线x=b（b≥1），分当1≤b≤4时，和b＞4时，两种情况，分析函数在区间[1，4]上的单调性，可得f（x）的最小值g（b）；
（ II）结合（I）中所得g（b）的解析式，根据分段函数分段处理的原则，分别求出各段上函数的最大值，比照后可得g（b）的最大值M．
点评：本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，函数单调性的性质，其中熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答本题的关键．