Question

已知 在梯形ABCD中，

AB

=(6，1)，

BC

=(x，y)，

CD

=(-2，-3)
（Ⅰ）若

BC

∥

DA

，试求x与y满足的关系式；
（Ⅱ）满足（1）的同时又有

AC

⊥

BD

，求向量

AC

与

BD

的坐标．

Answer 1

分析：（1）由题意和向量的线性运算先求出

DA

的坐标，再由两个向量的平行对应坐标条件，求出关系式；
（2）由题意和向量的线性运算先求出

AC

和

BD

的坐标，再由两个向量的垂直对应坐标条件，求出关系式，再结合（1）的关系式进行求解，进而求出

AC

和

BD

的坐标．

解答：解：（1）由题意知，

BC

=(x，y)，

DA

=-

AD

=-(

AB

+

BC

+

CD

)=-(x+4，y-2)=(-x-4，-y+2)
∵

BC

∥

DA

，则有x•（-y+2）-y•（-x-4）=0
化简得：x+2y=0
（2）∵

AC

=

AB

+

BC

=(x+6，y+1)，

BD

=

BC

+

CD

=(x-2，y-3)
又∵

AC

⊥

BD

，则 （x+6）•（x-2）+（y+1）•（y-3）=0
化简有：x²+y²+4x-2y-15=0
联立

x+2y=0  x2+y2+4x-2y-15=0

解得

x=-6 y=3

或

x=2 y=-1

当

x=-6 y=3

时，有

AC

=(0，4)   

BD

=(-8，0)；
当

x=2 y=-1

时，有

AC

=(8，0)   

BD

=(0，-4)．

点评：本题是向量的综合题，涉及了向量平行以及垂直的坐标表示的等价条件应用，向量的线性运算的应用，考查了计算能力和知识的运用能力．