Question

已知经过直线l₁：3x+4y-5=0与直线l₂：2x-3y+8=0的交点M，
（Ⅰ）过原点和点M的直线方程；
（Ⅱ）过点M且与直线2x+y+5=0平行的直线方程；
（Ⅲ）过点M且与直线2x+y+5=0垂直的直线方程．
（注意：求出的直线方程要化成一般式）

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出两条直线的交点坐标，直接求解过原点和点M的直线方程；
（Ⅱ）设与直线2x+y+5=0平行的直线l方程为2x+y+c=0，把点M代入即可求出与直线2x+y+5=0平行的直线方程；
（Ⅲ）然后利用直线与直线2x+y+5=0垂直，根据斜率乘积为-1，得到所求直线的斜率，写出过点M且与直线2x+y+5=0垂直的直线方程即可．

解答：解：：（Ⅰ）联立两条直线的方程可得：

3x+4y-5=0 2x-3y+8=0

解得x=-1，y=2，
所以l₁与l₂交点M坐标是（-1，2）．
所以过原点和点M的直线方程：2x+y=0．
（Ⅱ）设与直线2x+y+5=0平行的直线l方程为2x+y+c=0
因为直线l过l₁与l₂交点M（-1，2）
所以c=0
所以直线l的方程为2x+y=0．
（Ⅲ）与直线2x+y+5=0垂直的直线斜率为：

1

2

，
∴点M且与直线2x+y+5=0垂直的直线方程y-2=

1

2

（x+1），即x-2y-3=0．

点评：考查学生求两条直线交点坐标的方法，直线的平行斜率相等，会利用两直线垂直时斜率乘积等于-1解题的能力，会根据一个点和斜率写出直线一般式方程．