Question

如图①，E，F分别是直角三角形ABC边AB和AC的中点，∠B=90°，沿EF将三角形ABC折成如图②所示的锐二面角A₁-EF-B，若M为线段A₁C中点．
求证：（1）直线FM∥平面A₁EB；
（2）平面A₁FC⊥平面A₁BC．

Answer 1

证明：（1）取A₁B中点N，连接NE，NM，
则MN，EF，所以MNFE，
所以四边形MNEF为平行四边形，所以FM∥EN，（4分）
又因为FM?平面A₁EB，EN?平面A₁EB，
所以直线FM∥平面A₁EB．（7分）
（2）因为E，F分别AB和AC的中点，
所以A₁F=FC，所以FM⊥A₁C（9分）
同理，EN⊥A₁B，
由（1）知，FM∥EN，所以FM⊥A₁B
又因为A₁C∩A₁B=A₁，所以FM⊥平面A₁BC，（12分）
又因为FM?平面A₁FC
所以平面A₁FC⊥平面A₁BC．（14分）
分析：（I）取A₁B中点N，连接NE，NM，证四边形MNEF为平行四边形来获取MF∥NE，得到线面平行的条件．
（II）根据图形找出线MF与面ABC中的两条相交线垂直即可，由题目中的条件易得．
点评：考查线面平行与线面垂直的判定定理，以及空间想象能力．