题目内容

已知函数 $数学公式$ （k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）定理：函数 $数学公式$ （a、b是正常数）在区间 $数学公式$ 上为减函数，在区间 $数学公式$ 上为增函数．参考该定理，解决下面问题：是否存在实数m同时满足以下两个条件：①不等式 $数学公式$ 恒成立；②方程f（x）-m=0有解．若存在，试求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．

解：（1）由函数f（x）是偶函数，可知f（x）=f（-x）．
∴log₄（4^x+1）+kx=log₄（4^-x+1）-kx．…（2分）
即log₄ $\text{[math]}$ =-2kx，log₄4^x=-2kx，…（4分）
∴x=-2kx对一切x∈R恒成立．∴k=- $\text{[math]}$ ．…（6分）
（利用f（-1）=f（1）解出k=- $\text{[math]}$ ，可得满分）
（2）由m=f（x）=log₄（4^x+1）- $\text{[math]}$ x，
∴m=log₄ $\text{[math]}$ =log₄（2^x+ $\text{[math]}$ ）．…（8分）
设u=2^x+ $\text{[math]}$ ，又设t=2^x，则 $\text{[math]}$ ，由定理，知u_min=u（1）=2，…（10分）
∴m≥log₄2= $\text{[math]}$ ．故要使方程f（x）-m=0有解，m的取值范围为m≥ $\text{[math]}$ ．…（12分）
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
综上所述， $\text{[math]}$ …（14分）
分析：（1）根据函数f（x）是偶函数建立等式关系，化简可得log₄ $\text{[math]}$ =-2kx，从而x=-2kx对x∈R恒成立，即可求出k的值；
（2）先利用①不等式 $\text{[math]}$ 恒成立等价于 $\text{[math]}$ ，建立不等关系求出m的范围，再根据②要使方程f（x）-m=0有解，转化成求函数的值域，将m分离出来得m=log₄ $\text{[math]}$ =log₄（2^x+ $\text{[math]}$ ），然后利用所给定理求出m的范围，最后综合即可．
点评：本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及根的个数的判定和利用新定理等有关基础知识，属于中档题．