Question

已知函数f(x)=log

1

2

(sinx-cosx)．
（1）求它的定义域和值域；
（2）求它的单调区间；
（3）判断它的奇偶性；
（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．

Answer 1

分析：（1）令对数的真数大于0求出x的范围为定义域，据三角函数的有界性求出值域．
（2）函数为复合函数，据符号函数的单调性同增异减，外函数是减函数，求出内函数的递增区间为函数的递减区间；内函数的递减区间为函数的递增区间
（3）判断函数的奇偶性先看定义域，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．
（4）据函数最小正周期的定义，求出周期．

解答：解：（1）由题意得sinx-cosx＞0即

2

sin(x-

π

4

)＞0，从而得2kπ＜x-

π

4

＜ 2kπ+π，
∴函数的定义域为(2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

)（k∈Z）．
∵0＜sin(x-

π

4

)≤1，
故0＜sinx-cosx≤

2

，所以函数f（x）的值域是[-

1

2

，+∞)．
（2）∵(sinx-cosx)=

2

sin(x-

π

4

)
令2kπ-

π

2

≤x-

π

4

≤2kπ+

π

2

解得2kπ-

π

4

≤x≤2kπ+

3π

4

令2kπ+

π

2

≤x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

解得2kπ+

3π

4

≤x≤2kπ+

7π

4

结合函数的定义域知
单调递增区间是[2kπ+

3π

4

，2kπ+

5π

4

)（k∈Z），
单调递减区间是(2kπ+

π

4

，2kπ+

3π

4

)（k∈Z）．
（3）因为f（x）定义域在数轴上对应的点不关于原点对称，
故f（x）是非奇非偶函数．
（4）∵f(x+2π)=log

1

2

[(sin(x+2π)-cos(x+2π)]=f（x），
∴函数f（x）的最小正周期T=2π．

点评：本题考查函数的性质：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．