题目内容

已知⊙M：x²+（y-2）²=1，Q是x轴上的动点，QA、QB分别切⊙M于A、B两点．
（Ⅰ）求证直线AB恒过一个定点；
（Ⅱ）求动弦AB的中点P的轨迹方程．

（Ⅰ）证明：设Q（a，0），由题意知M，A，Q，B四点共圆，直径为MQ，设R（x，y）是该圆上任一点，
由 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0得，x（x-a）+（y-2）y=0，即x²+y²-ax-2y=0．①
①式与x²+（y-2）²=1联立，消去x²+y²项得两圆公共弦AB的方程为-ax+2y=3，
∴无论a取何值，直线AB恒过点（0， $\text{[math]}$ ）．
（Ⅱ）解：连接MB，MQ，设P（x，y），Q（a，0），点M、P、Q在一条直线上，当a≠0时，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．②
由射影定理有|MB|²=|MP|•|MQ|，即 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =1．③
由②及③消去a，并注意到y＜2，可得x²+（y- $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ （y＜2）．
当a=0时，P点为（0， $\text{[math]}$ ），满足方程x²+（y- $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ （y＜2）．
∴中点P的轨迹方程为x²+（y- $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ （y＜2）．
分析：（Ⅰ）由题意知M，A，Q，B四点共圆，直径为MQ，由 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0求出圆的方程与x²+（y-2）²=1联立，消去x²+y²项得两圆公共弦AB的方程，即可证得直线AB恒过定点；
（Ⅱ）利用点M、P、Q在一条直线上，结合由射影定理，可得中点P的轨迹方程．
点评：本题考查圆的方程，考查直线过定点，考查轨迹方程的求解，考查学生的计算能力，属于中档题．