Question

已知数列{a_n}和{b_n}的通项公式分别为a_n=3n+6，b_n=2n+7（n∈N^*）．将集合{x|x=a_n，n∈N^*}∪{x|x=b_n，n∈N^*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c₁，c₂，c₃，…，c_n，…
（1）写出c₁，c₂，c₃，c₄；
（2）求证：在数列{c_n}中，但不在数列{b_n}中的项恰为a₂，a₄，…，a_2n，…；
（3）求数列{c_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）利用两个数列的通项公式求出前3项，按从小到大挑出4项．
（2）对于数列{a_n}，对n从奇数与偶数进行分类讨论，判断是否能写成2n+7的形式．
（3）对{a_n}中的n从从奇数与偶数进行分类讨论，对{b_n}中的n从被3除的情况分类讨论，判断项的大小，求出数列的通项．

解答：解：（1）a₁=3×1+6=9；     a₂=3×2+6=12              a₃=3×3+6=15
b₁=2×1+7=9               b₂=2×2+7=11             b₃=2×3+7=13 
∴c₁=9；c₂=11；c₃=12；c₄=13
（2）解对于a_n=3n+6，
当n为奇数时，设为n=2k+1
则3n+6=2（3k+1）+7∈{b_n}
当n为偶数时，设n=2k则3n+6=6k-1+7不属于{b_n}
∴在数列{c_n}中，但不在数列{b_n}中的项恰为a₂，a₄，…，a_2n，…；
（3）b_3k-2=2（3k-2）+7=a_2k-1
b_3k-1=6k+5 
a_2k=6k+6
b_3k=6k+7
∵6k+3＜6k+5＜6k+6＜6k+7
∴当k=1时，依次有b₁=a₁=c₁，b₂=c₂，a₂=c₃，b₃=c₄…
∴cn=

6k+3(n=4k-3) 6k+5(n=4k-2) 6k+6(n=4k-1) 6k+7(n=4k)

点评：本题考查利用数列的通项公式求数列的项、考查判断某项是否属于一个数列是看它是否能写出通项形式、考查分类讨论的数学数学方法．