题目内容

曲线y=2e^-x在点 $数学公式$ 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
e²
D.
$数学公式$

D
分析：欲求切线与坐标轴所围三角形的面积的大小，只须求出其斜率得到切线的方程即可，故先利用导数求出在x=x₀处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
解答：∵y=2e^-x，∴y′=-2e^-x，
∵曲线y=2e^-x过 $\text{[math]}$ ，∴2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得x₀=1．
k=y′|_x=1=-2e^-1=- $\text{[math]}$ ．
∴曲线y=2e^-x在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为：y- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （x-1），
整理，得y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ．
∵y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ 与坐标轴的交点坐标为（0， $\text{[math]}$ ），（2，0），
∴曲线y=2e^-x在点 $\text{[math]}$ 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为：
S= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故选D．
点评：本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．