Question

（2011•广州一模）已知定义域为R的函数f（x）满足①f（x）+f（x+2）=2x²-4x+2，②f（x+1）-f（x-1）=4（x-2），若f(t-1)，-

1

2

，f(t)成等差数列，则t的值为

2或3

．

Answer 1

分析：由f(t-1)，-

1

2

，f(t)成等差数列，根据等差数列的性质列出关系式，根据f（x+1）-f（x-1）=4（x-2），设x-1=m，解出x，代入得到一个关系式，记作（i），又根据f（x）+f（x+2）=2x²-4x+2，记作（ii），由（ii）-（i）化简即可得到f（x）的解析式，利用求出的解析式化简前面的关系式，得到关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．

解答：解：因为f(t-1)，-

1

2

，f(t)成等差数列，所以f（t-1）+f（t）=-1，
又f（x+1）-f（x-1）=4（x-2），令x-1=m，则x=m+1，
得f（m+2）-f（m）=4（m-1），即f（x+2）-f（x）=4x-4，（i）
而f（x）+f（x+2）=2x²-4x+2，（ii）
由（ii）-（i）得：f（x）=

1

2

（2x²-8x+6）=x²-4x+3，
∴f（t-1）+f（t）=t²-2t+1-4t+4+t²-4t+3=2t²-10t+11=-1，
即t²-5t+6=0，解得t=2或t=3．
故答案为：2或3

点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，掌握函数值的意义，是一道基础题．灵活运用题中的两个条件推导出f（x）的解析式是解本题的关键．