Question

已知函数f(x)=

x3

3

+x2+3ax+1，动直线l的斜率k=2．
（1）若存在直线l与f（x）的图象相切，求a的取值范围；
（2）若恰好有一条直线l与f（x）的图象相切，求直线l的方程；
（3）若动直线l与f（x）的图象相切点A（x₁，y₁），且x₁∈[-2，2]，求a的取值范围．

Answer 1

由题意得f'（x）=x²+2x+3a．
（1）若存在直线l与f（x）的图象相切，设l的斜率为k，
则x²+2x+3a=2，3a=2-x²-2x≤3?a≤1，
∴a的取值范围（-∞，1]；
（2）若恰好有一条直线l与f（x）的图象相切，
设切点M（x，y），则x²+2x+3a=2有惟一解，?△=0?a=1，
且x=-1，切点M（-1，-

4

3

），
∴直线l的方程为：y+

4

3

=2（x+1），即：2x+y+

2

3

=0；
（3）若动直线l与f（x）的图象相切点A（x₁，y₁），
则x₁²+2x₁+3a=2且x₁∈[-2，2]，
3a=2-x₁²-2x₁∈[-6，3]，?a∈[-2，1]
故a的取值范围[-2，1]．