Question

20．已知函数f（x）=|x+a|+|x-2|．
（1）当a=-3时，求不等式 f（x）≥3的解集；
（2）若f（x）≤|x-4|的解集包含[1，2]，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的意义求得不等式 f（x）≥3的解集．
（2）由题意可得f（x）≤|x-4|在[1，2]上恒成立，等价转化为-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立，由此可得a的范围．

解答 解：（1）当a=-3时，函数f（x）=|x-3|+|x-2|，表示数轴上的x对应点到2、3对应点的距离之和，
而1和4对应点到2、3对应点的距离之和正好等于3，故不等式 f（x）≥3的解集为{x|x≤1或 x≥4}．
（2）f（x）≤|x-4|的解集包含[1，2]，等价于f（x）≤|x-4|在[1，2]上恒成立，
即|x+a|+|x-2|≤|x-4|在[1，2]上恒成立，
即|x+a|≤（4-x）-（2-x）=2 在[1，2]上恒成立，即-2≤a+x≤2 在[1，2]上恒成立，
即-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立，∴-3≤a≤0．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．