题目内容

若正实数a，b满足ln（a+b）=0，则
1
a
+
2
b
的最小值为
 
．
分析：根据对数的运算，由ln（a+b）=0求出a+b=1，利用“1”的代换的思想，将
1
a
+
2
b
转化为（
1
a
+
2
b
）（a+b），展开后利用基本不等式，即可求得答案．
解答：解：∵ln（a+b）=0，
∴ln（a+b）=ln1，
∴a+b=1，
又∵a，b为正实数，
∴
1
a
+
2
b
=（
1
a
+
2
b
）（a+b）=
b
a
+
2a
b
+3≥2
b
a
•
2a
b
+3=2
2
+3，
当且仅当
b
a
=
2a
b
，即a=
2
-1，b=2-
2
时取等号，
∴
1
a
+
2
b
的最小值为2
2
+3．
故答案为：2
2
+3．
点评：本题考查了基本不等式在最值问题中的应用．运用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．本题运用了“1”的代换的思想，解题的关键是将常数1代换为a+b，构造出乘积为最值的求和形式．属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知点A（1，0），B（2，2），C（3，0），矩阵M表示变换”顺时针旋转45°”．
（Ⅰ）写出矩阵M及其逆矩阵M-1；
（Ⅱ）请写出△ABC在矩阵M-1对应的变换作用下所得△A1B1C1的面积．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
过P（2，0）作倾斜角为α的直线l与曲线E：
x=cosθ
y=
2
2
sinθ
（θ为参数）交于A，B两点．
（Ⅰ）求曲线E的普通方程及l的参数方程；
（Ⅱ）求sinα的取值范围．
（3）（选修4-5 不等式证明选讲）
已知正实数a、b、c满足条件a+b+c=3，
（Ⅰ）求证：
a
+
b
+
c
≤3；
（Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．
（2012•桂林模拟）已知A、B、P是直线l上三个相异的点，平面内的点O∉l，若正实数x、y满足4
OP
=2x
OA
+y
OB
，则
1
x
+
1
y
的最小值为
3
4
+
2
2
3
4
+
2
2
．
选考题部分
（1）（选修4-4 参数方程与极坐标）（本小题满分7分）
在极坐标系中，过曲线L：ρsin2θ=2acosθ（a＞0）外的一点A(2
5
，π+θ)（其中tanθ=2，θ为锐角）作平行于θ=
π
4
(ρ∈R)的直线l与曲线分别交于B，C．
（Ⅰ） 写出曲线L和直线l的普通方程（以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建系）；
（Ⅱ）若|AB|，|BC|，|AC|成等比数列，求a的值．
（2）（选修4-5 不等式证明选讲）（本小题满分7分）
已知正实数a、b、c满足条件a+b+c=3，
（Ⅰ） 求证：
a
+
b
+
c
≤3；
（Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．
已知A、B、P是直线l上三个相异的点，平面内的点O∉l，若正实数x、y满足，则的最小值为    ．
选考题部分
（1）（选修4-4 参数方程与极坐标）（本小题满分7分）
在极坐标系中，过曲线L：ρsin2θ=2acosθ（a＞0）外的一点（其中tanθ=2，θ为锐角）作平行于的直线l与曲线分别交于B，C．
（Ⅰ） 写出曲线L和直线l的普通方程（以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建系）；
（Ⅱ）若|AB|，|BC|，|AC|成等比数列，求a的值．
（2）（选修4-5 不等式证明选讲）（本小题满分7分）
已知正实数a、b、c满足条件a+b+c=3，
（Ⅰ） 求证：；
（Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．

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