题目内容
设数列{an}是首项为4，公差为1的等差数列，Sn为数列{bn}的前n项和，且Sn=n2+2n．
（1）求数列{an}及{bn}的通项公式an和bn；
（2）f(n)=
问是否存在k∈N*使f（k+27）=4f（k）成立．若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（3）对任意的正整数n，不等式
-
≤0恒成立，求正数a的取值范围．
（1）求数列{an}及{bn}的通项公式an和bn；
（2）f(n)=
|
（3）对任意的正整数n，不等式
| a | ||||||
(1+
|
| 1 | ||
|
分析：（1）直接利用等差数列通项公式代入数值即可求出数列{an}的通项公式，根据Sn与an的固有关系an=
求{bn}的通项公式
（2）为将f（k+27）=4f（k）化简，应分k是正奇数、正偶数两种情况分类化简．再判断解的情况．
（3）将不等式变形并把an+1=n+4代入得a≤
(1+
)(1+
)(1+
)…(1+
）．设g（n）=
(1+
)(1+
)…(1+
）只需a小于或等于g（n）的最小值即可．考虑到g（n）解析式无法进一步化简整理，故可以通过作商法研究其单调性，求出最小值，得出正数a的取值范围．
|
（2）为将f（k+27）=4f（k）化简，应分k是正奇数、正偶数两种情况分类化简．再判断解的情况．
（3）将不等式变形并把an+1=n+4代入得a≤
| 1 | ||
|
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| b3 |
| 1 |
| bn |
| 1 | ||
|
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn |
解答：解：（1）an=a1+（n-1）d=4+n-1=n+3．
当n=1时，b1=S1=3．
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=n2+2n-（n-1）2-2（n-1）=2n+1．
当n=1时上式也成立，
∴bn=2n+1（n∈N*）．
所以an=n+3，bn=2n+1．
（2）假设符合条件的k（k∈N*）存在，
由于f（n）=
∴当k为正奇数时，k+27为正偶数
由f（k+27）=4f（k），得2（k+27）+1=4（k+3）．∴2k=43，k=
．（舍）
当k为正偶数时，k+27为正奇数，
由f（k+27）=4f（k），得（k+27）+3=4（2k+1）．即7k=26，∴k=
．（舍）
因此，符合条件的正整数k不存在
（3）将不等式变形并把an+1=n+4代入得a≤
(1+
)(1+
)(1+
)…(1+
）．
设g（n）=
(1+
)(1+
)…(1+
）．∴
=
(1+
)=
×
=
．
又∵
＜
=2n+4，∴
＞1，即g（n+1）＞g（n）．∴g（n）随n的增大而增大，故g（n）min=g（1）=
(1+
)=
．∴0＜a≤
．
当n=1时，b1=S1=3．
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=n2+2n-（n-1）2-2（n-1）=2n+1．
当n=1时上式也成立，
∴bn=2n+1（n∈N*）．
所以an=n+3，bn=2n+1．
（2）假设符合条件的k（k∈N*）存在，
由于f（n）=
|
由f（k+27）=4f（k），得2（k+27）+1=4（k+3）．∴2k=43，k=
| 43 |
| 2 |
当k为正偶数时，k+27为正奇数，
由f（k+27）=4f（k），得（k+27）+3=4（2k+1）．即7k=26，∴k=
| 26 |
| 7 |
因此，符合条件的正整数k不存在
（3）将不等式变形并把an+1=n+4代入得a≤
| 1 | ||
|
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| b3 |
| 1 |
| bn |
设g（n）=
| 1 | ||
|
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn |
| g(n+1) |
| g(n) |
| ||
|
| 1 |
| bn+1 |
| ||
|
| 2n+4 |
| 2n+3 |
| 2n+4 | ||||
|
又∵
| (2n+5)(2n+3) |
| (2n+5)+(2n+3) |
| 2 |
| g(n+1) |
| g(n) |
| 1 | ||
|
| 1 |
| 3 |
4
| ||
| 15 |
4
| ||
| 15 |
点评：本题考查等比数列、等差数列通项公式求解，分段函数知识、数列的函数性质、不等式恒成立问题．考查分类讨论、分类参数的思想与方法．
练习册系列答案
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A、bn+1=3bn，且Sn=
| ||
B、bn+1=3bn-2，且Sn=
| ||
C、bn+1=3bn+4，且Sn=
| ||
D、bn+1=3bn-4，且Sn=
|