题目内容

设函数f(x)=x2-ax+(a-2)lnx
 ，(a＞2)

（1）若函数f（x）在点x=2处有极值，求a的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．
分析：（1）求导函数，利用函数f（x）在点x=2处有极值，可得f′（2）=0，从而可求a的值；
（2）对参数a讨论，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调性．
解答：解：（1）求导函数，可得f′（x）=
(x-1)[2x-(a-2)]
x
（x＞0）
∵函数f（x）在点x=2处有极值，
∴f′（2）=0，解得a=6；
（2）①当a=4时，f′（x）=
2(x-1)2
x
≥0在（0，+∞）上恒成立，∴函数的单调增区间为（0，+∞）；
②当2＜a＜4时，即1＞
a-2
2
，f′（x）＞0有解为x＞1或0＜x＜
a-2
2
；f′（x）＜0有解为1＞x＞
a-2
2
，此时函数f（x）增区间为（0，
a-2
2
），（1，+∞）；减区间为（
a-2
2
，1）；
③当a＞4时，即1＜
a-2
2
，f′（x）＞0有解为0＜x＜1或x＞
a-2
2
；f′（x）＜0有解为1＜x＜
a-2
2
，此时函数f（x）增区间为（0，1），（
a-2
2
，+∞）；减区间为（1，
a-2
2
）．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数轭极值与单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
当p1，p2，…，pn均为正数时，称
n
p1+p2+…+pn
为p1，p2，…，pn的“均倒数”．已知数列{an}的各项均为正数，且其前n项的“均倒数”为
1
2n+1
．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设cn=
an
2n+1
（n∈N*），试比较cn+1与cn的大小；
（3）设函数f(x)=-x2+4x-
an
2n+1
，是否存在最大的实数λ，使当x≤λ时，对于一切正整数n，都有f（x）≤0恒成立？
设函数f(x)=
x2+bx+c，(x＜0)
-x+3，(x≥0)
，且f（-4）=f（0），f（-2）=-1．
（1）求函数f（x）的解析式； 
（2）画出函数f（x）的图象，并指出函数f（x）的单调区间．
（3）若方程f（x）=k有两个不等的实数根，求k的值．
已知△ABC中，角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设函数f(x)=x2+bx-
1
4
为偶函数，且f(cos
B
2
)=0．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积为
3
4
，其外接圆的半径为
2
3
3
，求△ABC的周长．
设函数f(x)=
x2+bx+c，-4≤x＜0
-x+3，0≤x≤4
，且f（-4）=f（0），f（-2）=-1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）画出函数f（x）的图象，并写出函数f（x）的定义域、值域．
设函数f(x)=
x2-x+n
x2+x+1
(x∈R，x≠
n-1
2
，x∈N*)，f（x）的最小值为an，最大值为bn，记cn=（1-an）（1-bn）
则数列{cn}是
常数
常数
数列．（填等比、等差、常数或其他没有规律）

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