Question

已知函数f（x）=x²+mx+n（m∈R，n∈R）．
（1）若n=1时，“至少存在一个实数x₀，使f（x₀）＜0成立”（命题表示为?x∈R，使f（x）＜0成立）为假命题，求m的取值范围；
（2）命题P：函数y=f（x）在（0，1）上有两个不同的零点，命题Q：-2＜m＜0，0＜n＜1．试分析P是Q的什么条件，并说明理由．（是充要条件、充分不必要条件、必要条件、既不充分也不必要条件）

Answer 1

分析：（1）先将“至少存在一个实数x₀，使f（x₀）＜0成立”为假命题，转化为“?x∈R，f（x）≥0恒成立”为真命题．从而f（x）=x²+mx+n≥0恒成立，利用根的判别式即可求m的取值范围；
（2）先说明充分性，P：函数y=f（x）在（0，1）上有两个不同的零点，则

m2-4n＞0 0＜- m 2 ＜1 f(0)＞0 f(1)＞0

，求得n的取值范围：0＜n＜1，所以P是Q的充分条件；反之，当-2＜m＜0，0＜n＜1时，取特殊值可得函数y=f（x）没有零点，从而P是Q的不必要条件；综上即可得出结论．

解答：解：（1）“至少存在一个实数x₀，使f（x₀）＜0成立”为假命题，则“?x∈R，f（x）≥0恒成立”为真命题．所以f（x）=x²+mx+n≥0恒成立，
所以△=m²-4n≤0，n=1，m²≤4，-2≤m≤2；                             （7分）
（2）P是Q的充分不必要条件．
充分性：P：函数y=f（x）在（0，1）上有两个不同的零点，
则

m2-4n＞0 0＜- m 2 ＜1 f(0)＞0 f(1)＞0

，则

m2＞4n -2＜m＜0 n＞0

，
故4n＜1，即0＜n＜1，所以P是Q的充分条件；                             （11分）
当-2＜m＜0，0＜n＜1时，
取m=-

1

2

，n=

1

2

，则△=m2-4n＜0，
函数y=f（x）没有零点，
所以P是Q的不必要条件；
综上：P是Q的充分不必要条件．                                           （15分）

点评：本小题主要考查命题的真假判断与应用、充要条件的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．