Question

已知f（x）=

m

•

n

，其中

m

=(sinωx+cosωx，

3

cosωx)，

n

=（cosωx-sinωx，2sinωx）（ω＞0）．若f（x）图象中相邻的对称轴间的距离不小于

π

2

．
（1）求ω的取值范围
（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．且a=

3

，b+c=3，f（A）=1，当ω最大时．求△ABC面积．

Answer 1

分析：（1）二倍角公式和两角和的正弦函数化简f（x）=

m

•

n

为2sin(2ωx+

π

6

)，根据

π

2ω

≥

π

2

，ω＞0，求出ω的范围．
（2）先求f（A）=1时，A的值，利用余弦定理求出bc=2，然后通过三角形的面积公式，求△ABC面积．

解答：解：（1）f(x)=cos2ωx-sin2ωx+2

3

cosωxsinωx=cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin(2ωx+

π

6

)（3分）
由题意知

π

2ω

≥

π

2

，ω＞0
∴0＜ω≤1．（6分）
（2）由于f(A)=2sin(2ωA+

π

6

)=1，
由于（1）知ω的最大值为1，
∴sin(2A+

π

4

)=

1

2

，
又

π

6

＜2A+

π

6

＜

13

6

π，∴A=

π

3

由余弦定理得b²+c²-bc=3，又b+c=3
∴（b+c）²-3bc=3∴bc=2，
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

（12分）

点评：本题是中档题，考查向量的数量积，三角函数的化简求值，余弦定理、三角形面积公式的应用，考查计算能力．