Question

若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对（A，B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）．已知函数 f（x）=

x2+2x  x＜0 2 ex     x≥0

，则f（x）的“姊妹点对”有（　　）个．

Answer 1

分析：首先弄清关于原点对称的点的特点，进而把问题转化为求方程

2

e-x

=-(x2+2x)的根的个数，再转化为求函数φ（x）=2e^x+x²+2x零点的个数即可．

解答：解：设P（x，y） （x＜0），则点P关于原点的对称点为P^′（-x，-y），
于是

2

e-x

=-(x2+2x)，化为2e^x+x²+2x=0，
令φ（x）=2e^x+x²+2x，下面证明方程φ（x）=0有两解．
由x²+2x≤0，解得-2≤x≤0，而

2

ex

＞0（x≥0），∴只要考虑x∈[-2，0]即可．
求导φ^′（x）=2e^x+2x+2，
令g（x）=2e^x+2x+2，则g^′（x）=2e^x+2＞0，
∴φ^′（x）在区间[-2，0]上单调递增，
而φ^′（-2）=2e^-2-4+2＜0，φ^′（-1）=2e^-1＞0，
∴φ（x）在区间（-2，0）上只存在一个极值点x₀．
而φ（-2）=2e^-2＞0，φ（-1）=2e^-1-1＜0，φ（0）=2＞0，
∴函数φ（x）在区间（-2，-1），（-1，0）分别各有一个零点．
也就是说f（x）的“姊妹点对”有两个．
故选B．

点评：本题考查了函数的零点，善于转化及熟练利用导数判断方程的根的个数是解决问题的关键．