Question

△ABC的面积为S，三边长为a、b、c．
（1）求证：（a+b+c）²＜4（ab+bc+ca）
（2）若S=（a+b）²-c²，a+b=4，求S的最大值．
（3）试比较a²+b²+c²与4

3

S的大小．

Answer 1

分析：（1）直接两边作差，把平方展开，整理后结合三角形三边关系即可得到结论；
（2）直接根据S=

1

2

absinC，c²=a²+b²-2abcosC以及S=（a+b）²-c²，a+b=4，代入整理得到sinC=4cosC+4求出sinC；再结合基本不等式求出ab的取值范围即可得到结论；
（3）通过作差结合三角形的面积公式以及余弦定理整理得到=2a2+2b2-4absin(C+

π

6

)≥2（a-b）²≥0即可得到结论．

解答：解：（1）证明：∵（a+b+c）²-4（ab+bc+ca）=a²+b²+c²-2ab-2ac-2bc=（a²-ab-ac）+（b²-ab-bc）+（c²-ac-bc）=a（a-b-c）+b（b-a-c）+c（c-a-b）
∵a、b、c为△ABC的三边
∴b+c＞a  a+c＞b   a+b＞c
故（a+b+c）²＜4（ab+bc+ca）（4分）
（2）∵S=

1

2

absinC，c²=a²+b²-2abcosC
∴

1

2

absinC=(a+b)2-a2-b2+2abcosC
把a+b=4代入整理得：
∴sinC=4cosC+4⇒17cos²C+32cosC+15=0⇒cosC=-1或cosC=-

15

17

∵C∈（0，π）∴sinC=

8

17

（8分）
∴S△=

1

2

absinC=

4

17

ab
而4=a+b≥2

ab

∴ab∈（0，4]
∴S∈(0，

16

17

]（10分）
（3）a2+b2+c2-4

3

S
=a2+b2+a2+b2-2abcosC-2

3

absinC
=2a2+2b2-2ab(

3

sinC+cosC)
=2a2+2b2-4absin(C+

π

6

)≥2（a-b）²≥0
∴a2+b2+c2≥4

3

S（14分）

点评：本题综合考查不等式的证明以及三角形中的几何计算．考查计算能力与分析问题的能力．通常不等式的证明采用作差法．