Question

化简S_n=n+（n-1）×2+（n-2）×2²+…+2×2^n-2+2^n-1的结果是

1. A.
   2ⁿ⁺¹+n-2
2. B.
   2ⁿ⁺¹-n+2
3. C.
   2ⁿ-n-2
4. D.
   2ⁿ⁺¹-n-2

Answer 1

D
分析：利用错位相减法求和．
解答：∵S_n=n+（n-1）×2+（n-2）×2²+…+2×2^n-2+2^n-1…①
2S_n=n×2+（n-1）×2²+（n-2）×2³+…+2×2^n-1+2ⁿ…②
∴①-②式得；-S_n=n-（2+2²+2³+…+2ⁿ）=n+2-2ⁿ⁺¹
∴S_n=n+（n-1）×2+（n-2）×2²+…+2×2^n-2+2^n-1n+2-2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-n-2
故选D．
点评：本题考查了错位相减法，它主要适合于求由一个等差数列和一个等比数列相应项的乘积所构成的数列的前n项和问题．