题目内容
在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC=BB1，D为AC的中点，
（1）求证：B1C∥平面A1BD； （2）若AC1⊥平面A1BD，二面角B—A1C1—D的余弦值.
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（1）证明见解析 （2）
（1）连结AB1交于A1B于点E，连结ED.
∵侧面ABB1A1是正方形 ∴E是AB1的中点
又∵D是AC的中点 ∴ED∥B1C
∴B1C∥平面A1BD………………4分
（2）取A1C1的中点G，连结DG，则DG⊥A1C1
∵AB=BC ∴BD⊥AC ∴BD⊥平面A1C1D
∴BG⊥A1C1
∴∠BGD为二面角B—A1C1—D的平面角………………8分
∵AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥BD，又∵CC1⊥平面ABCD，且AC1在平面ABC的射影为AC，∴AC⊥BD
∵AB=BC且D为AC中点，∴AB⊥BC 且BD=
AB
又∵DG=A1A=AB
∴BG=
AB ∴
……………………12分
∵侧面ABB1A1是正方形 ∴E是AB1的中点
又∵D是AC的中点 ∴ED∥B1C
∴B1C∥平面A1BD………………4分
（2）取A1C1的中点G，连结DG，则DG⊥A1C1
∵AB=BC ∴BD⊥AC ∴BD⊥平面A1C1D
∴BG⊥A1C1
∴∠BGD为二面角B—A1C1—D的平面角………………8分
∵AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥BD，又∵CC1⊥平面ABCD，且AC1在平面ABC的射影为AC，∴AC⊥BD
∵AB=BC且D为AC中点，∴AB⊥BC 且BD=
AB又∵DG=A1A=AB
∴BG=
AB ∴……………………12分
练习册系列答案
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的底面边长是2，D是侧棱
的中点，平面ABD和平面
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；
所成的角为
，试求二面角
的大小．
，
为棱
的中点．
的体积；
平面
． 
的棱长为l，点F为
的中点．
∥平面AFC；．
，求
所成角的正弦值。
为正方形
所在平面外一点
平面
分别是线段
的中点。w. （Ｉ）求证：
平面
平面
；
与
所成角的大小。