题目内容

甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为 $数学公式$ ，乙每次投中的概率为 $数学公式$ ，每人分别进行三次投篮．
（Ⅰ）记甲投中的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ；
（Ⅱ）求乙至多投中2次的概率；
（Ⅲ）求乙恰好比甲多投进2次的概率．

解：（Ⅰ）ξ的可能取值为：0，1，2，3． …（1分）
则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．
ξ的分布列如下表：

ξ	0	1	2	3
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

…（4分）
∴ $\text{[math]}$ ． …（5分）
（Ⅱ）利用对立事件，可得乙至多投中2次的概率为 $\text{[math]}$ ． …（8分）
（Ⅲ）设乙比甲多投中2次为事件A，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B₁，乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B₂，
则A=B₁∪B₂，B₁，B₂为互斥事件． …（10分）
所以P（A）=P（B₁）+P（B₂）= $\text{[math]}$ ．
所以乙恰好比甲多投中2次的概率为 $\text{[math]}$ ． …（13分）
分析：（Ⅰ）确定ξ的可能取值，求出相应的概率，即可得到ξ的分布列及数学期望Eξ；
（Ⅱ）利用对立事件，可得乙至多投中2次的概率；
（Ⅲ）设乙比甲多投中2次为事件A，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B₁，乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B₂，
则A=B₁∪B₂，利用互斥事件的概率公式，即可求得结论．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，解题的关键是确定变量的取值，求出相应的概率．