题目内容

已知椭圆： $数学公式$ ．
（Ⅰ）若椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为 $数学公式$ 和 $数学公式$ ，求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，过坐标原点O任作两条互相垂直的直线与椭圆分别交于P、Q和R、S四点．设原点O到四边形PRQS某一边的距离为d，试求：当d=1时 $数学公式$ 的值．

解：（Ⅰ）∵椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，
∴2a=4，a=2，2c=2 $\text{[math]}$ ，c= $\text{[math]}$ ，
∴椭圆的方程： $\text{[math]}$
（Ⅱ）由椭圆的对称性知：PRQS为菱形，原点O到各边距离相等
（1）当P在y轴上时，易知R在x轴上，此时PR方程为 $\text{[math]}$ ，d=1? $\text{[math]}$ ．
（2）当P在x轴上时，易知R在y轴上，此时PR方程为 $\text{[math]}$ ，d=1? $\text{[math]}$ ．
（3）当P不在坐标轴上时，设PQ斜率为k，P（x₁，kx₁）、 $\text{[math]}$
P在椭圆上， $\text{[math]}$ ①；
R在椭圆上， $\text{[math]}$ ②
利用Rt△POR可得　d|PR|=|OP|•|OR|
即　 $\text{[math]}$
整理得　 $\text{[math]}$ ．再将①②代入，得 $\text{[math]}$
综上当d=1时，有 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）由椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，知2a=4，2c=2 $\text{[math]}$ ，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）由椭圆的对称性知：PRQS为菱形，原点O到各边距离相等．当P在y轴上时，R在x轴上，PR方程为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．当P在x轴上时，R在y轴上，PR方程为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．当P不在坐标轴上时，设PQ斜率为k，P（x₁，kx₁）、 $\text{[math]}$ ，P在椭圆上， $\text{[math]}$ ，R在椭圆上， $\text{[math]}$ ．利用Rt△POR得d|PR|=|OP|•|OR|，由此得 $\text{[math]}$ ．故当d=1时，有 $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．