Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，已知向量

p

=(1，

3

cos

A

2

)，

q

=(2sin

A

2

，1-cos2A)，且

p

∥

q

．
（1）若a²-c²=b²-mbc，求实数m的值．
（2）若a=

3

，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由向量平行时，向量的坐标对应成比例得到一个关系式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，由sinA不为0，得到sinA的值，又A为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，利用余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入即可表示出cosA，由cosA的值列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；
（2）由（1）中求出的sinA和cosA的值，根据

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，解出bc，利用基本不等式求出bc的最大值，然后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把bc的最大值及sinA的值代入即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答：解：（1）由

p

∥

q

得：1-2cos2A=2

3

sin

A

2

cos

A

2

，即1-cos2A=

3

sinA，
所以2sin2A=

3

sinA，
又A为锐角，∴sinA=

3

2

，cosA=

1

2

，（3分）
而a²-c²=b²-mbc可以变形为

b2+c2-a2

2bc

=

m

2

即cosA=

m

2

=

1

2

，所以m=1；（6分）
（2）由（1）知：cosA=

1

2

，sinA=

3

2

，
又

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
所以bc=b²+c²-a²≥2bc-a²即bc≤a²，（9分）
故S△ABC=

1

2

bcsinA≤

1

2

a2

3

2

=

3 3

4

，
当且仅当b=c=

3

时，△ABC面积的最大值是

3 3

4

．（12分）

点评：此题考查了三角函数的恒等变换，余弦定理及三角形的面积公式，要求学生掌握平面向量的数量积的运算法则，二倍角正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及基本不等式．灵活利用基本不等式求出bc的最大值是第二问求三角形面积最大的关键．