Question

f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果f（ax+1）≤f（x-2）在[

1

2

，1]上恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：本题考查的是不等式、函数性质以及恒成立有关的综合类问题．在解答时，应先分析好函数的单调性，然后结合条件f（ax+1）≤f（x-2）在[

1

2

，1]上恒成立，将问题转化为有关 x的不等式在[

1

2

，1]上恒成立的问题，在进行解答即可获得问题的解答．

解答：解：由题意可知：f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴f（x）在（-∞，0]上是减函数，
∴由f（ax+1）≤f（x-2）在[

1

2

，1]上恒成立，
可知：|ax+1|≤|x-2|在[

1

2

，1]上恒成立，
∴

-|x-2|-1

x

≤a≤

|x-2|-1

x

在[

1

2

，1]上恒成立，
∴-2≤a≤0．
故答案为：[-2，0]．

点评：本题考查的是不等式、函数性质以及恒成立有关的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了函数的性质、恒成立的思想以及问题转化的能力．值得同学们体会与反思．