Question

3．已知函数f（x）=x²+bx+c（x∈R），且f（x）＜0的解集为（-2，0）．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）若数列{a_n}的前n项和S_n=f（n），n∈N^*，求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过-2和0是方程x²+bx+c=0的两根，利用韦达定理计算即得结论；
（Ⅱ）利用a_n=S_n-S_n-1计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵x²+bx+c＜0的解集为（-2，0），
∴-2和0是方程x²+bx+c=0的两根，
∴x₁+x₂=-b=-2，x₁x₂=c=0，
∴b=2，c=0；
（Ⅱ）∵b=2，c=0，
∴S_n=f（n）=n²+2n，
∴a_n=S_n-S_n-1
=（n²+2n）-[（n-1）²+2（n-1）]
=2n+1（n≥2），
又∵a₁=S₁=1+2=3满足上式，
∴a_n=2n+1．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．