题目内容
设实数x、y满足
，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则
+
的最小值为（ ）
|
| 2 |
| a |
| 3 |
| b |
分析：作出满足约束条件的平面区域图，利用目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，得到4a+6b=2，利用“1”的代换，结合基本不等式可得
+
的最小值．
| 2 |
| a |
| 3 |
| b |
解答：
解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线4x-y-10=0与直线x-2y+8=0的交点（4，6）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大2，
∴4a+6b=2，即2a+3b=1，
∴
+
=（
+
）（2a+3b）=13+6（
+
）≥13+12
=25，
当且仅当a=b=
时取等号，
∴
+
的最小值为25．
故选D．
解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线4x-y-10=0与直线x-2y+8=0的交点（4，6）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大2，
∴4a+6b=2，即2a+3b=1，
∴
| 2 |
| a |
| 3 |
| b |
| 2 |
| a |
| 3 |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
|
当且仅当a=b=
| 1 |
| 5 |
∴
| 2 |
| a |
| 3 |
| b |
故选D．
点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．
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