Question

下列命题：
①设a，b是非零实数，若a＜b，则ab²＜a²b；
②若a＜b＜0，则

1

a

＞

1

b

；
③函数y=

x2+3

x2+2

的最小值是2；
④若x、y是正数，且

1

x

+

4

y

=1，则xy有最小值16．
其中正确命题的序号是

②④

．

Answer 1

分析：①的结论不成立，举出反例即可；
②由同号不等式取倒数法则，知，知②成立；
③函数y=

x2+3

x2+2

=

x2+2

+

1

x2+2

≥2的前提条件是

x2+2

=1，由

x2+2

≥2，知函数y=

x2+3

x2+2

的最小值不是2；
④由x、y是正数，且

1

x

+

4

y

=1，知

4

xy

≤(

1

2

)2=

1

4

，故xy≥16．

解答：解：设a，b是非零实数，若a＜b，则ab²＜a²b，此结论不成立，
反例：令a=-10，b=-1，则ab²=-10＞a²b=-100，故①不成立；
若a＜b＜0，由同号不等式取倒数法则，知

1

a

＞

1

b

，故②成立；
函数y=

x2+3

x2+2

=

x2+2

+

1

x2+2

≥2的前提条件是

x2+2

=1，
∵

x2+2

≥2，∴函数y=

x2+3

x2+2

的最小值不是2，故③不正确；
∵x、y是正数，且

1

x

+

4

y

=1，
∴

4

xy

≤(

1

2

)2=

1

4

，
∴xy≥16，故④正确．
故答案为：②④．

点评：本题考查命题的真假判断，解题时要注意同号不等式取倒数法则、均值不等式成立的条件等知识点的灵活运用．