Question

已知圆A：（x+2）²+y²=32，圆P过定点B（2，0）且与圆A内切．
（1）求圆心P的轨迹方程C；
（2）过Q（0，3）作直线l交P的轨迹C于M、N两点，O为原点．当△MON面积最大时，求此时直线l的斜率．

Answer 1

分析：（1）利用动圆P与定圆（x+2）²+y²=32相内切，以及椭圆的定义，可得动圆圆心P的轨迹M的方程；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），l：y=kx+3，通过S_△MON的表达式求出△OAB的面积的最大值时直线l的斜率．

解答：解：（1）由题意，两圆相内切，故|PA|=4

2

-|PB|，即|PA|+|PB|=4

2

．
又∵AB=4＜4

2

∴动圆的圆心P的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为4

2

的椭圆．
动点P的轨迹方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），l：x=m（y-3），直线与x轴的交点为A（-3m，0）
S_△MON=

1

2

|OA|•|y₁-y2|
把x=m（y-3），代入椭圆方程，得m²（y-3）²+2y²-8=0，
即（m²+2）y²-6m²y-8+9m²=0，△=64-40m²＞0，⇒m²＜

8

5

y₁+y₂=

6m2

m2+2

，y₁y₂=

9m2-8

m2+2

，
|y₁-y₂|=

( 6m2 m2+2 )2-4× 9m2-8 m2+2

=

64-40m2

m2+2

∴S_△AOB=

1

2

|3m|

64-40m2

m2+2

=3

16m2-10m4 (m2+2)2

=3

-10+ 56 m2+2 - 72 (m2+2)2

，令t=

1

m2+2

，
所以S_△AOB=3

-72t2+56t-10

≤2

3

，当t=

7

18

时，即m²=

4

7

＜

8

5

时面积取得最大值．
此时直线的斜率为：

1

m

=±

7

2

．

点评：本题考查圆的基本知识和轨迹方程的求法以及斜率的求法，解题时要注意公式的灵活运用，此题有一定难度．