Question

一系列椭圆都以一定直线l为准线，所有椭圆的中心都在定点M，且点M到l的距离为2，若这一系列椭圆的离心率组成以

3

4

为首项，

1

3

为公比的等比数列，而椭圆相应的长半轴长为a_i（i=1，2，…，n），则a₁+a₂+…+a_n=（　　）

• A．

  9

  4

  [1-(

  2

  3

  )n-1]
• B．

  9

  4

  [1-(

  1

  3

  )n-1]
• C．

  9

  4

  [1-(

  2

  3

  )n]
• D．

  9

  4

  [1-(

  1

  3

  )n]

Answer 1

分析：根据椭圆的离心率组成以

3

4

为首项，

1

3

为公比的等比数列，得出

cn

an

=

3

4

•（

1

3

）^n-1，又点M到l的距离为2，得到

an

2

=

cn

an

=

3

4

•（

1

3

）^n-1，最后利用等比数列的求和公式求和即得．

解答：解：∵椭圆的离心率组成以

3

4

为首项，

1

3

为公比的等比数列，
∴

cn

an

=

3

4

•（

1

3

）^n-1，
又点M到l的距离为2，
∴

a 2 n

cn

=2，
∴

an

2

=

cn

an

，
∴

an

2

=

3

4

•（

1

3

）^n-1，
∴a₁+a₂+…+a_n=

3 2 [1-( 1 3 )  n]

1- 1 3

=

9

4

[1-(

1

3

)n]．
故选D．

点评：本小题主要考查椭圆的几何性质、等比数列的应用、椭圆的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．