题目内容

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合．直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ+4-a=0．若直线l与圆C相交于A、B且|AB|=1，求实数a的值．
【答案】分析：将直线的参数方程和圆的极坐标方程转化为直角坐标方程，然后利用直线l与圆C相交于A、B且|AB|=1，可得实数a．
解答：解：直线l的普通方程为，
圆的直角坐标方程为（x-2）2+y2=a，
则圆心坐标为C（2，0），半径为．
设圆心到直线的距离为d，则由题意得，
即．
解得a=1．
点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，将直线的参数方程和圆的极坐标方程转化为普通方程是解决本题的关键．
练习册系列答案
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（2012•邯郸一模）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合．直线l的参数方程为：
x=-1+
3
2
t
y=
1
2
t       
（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）写出C的直角坐标方程，并指出C是什么曲线；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于P、Q两点，求|PQ|值．
在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内 作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．
B．已知二阶矩阵A=
2a
b0
属于特征值-1的一个特征向量为
1
-3
，求矩阵A的逆矩阵．

C．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为
x=-
3
t
y=1+t
（t为参数，t∈{R}）．试求曲线C上点M到直线l的距离的最大值．
D．（1）设x是正数，求证：（1+x）（1+x2）（1+x3）≥8x3；
（2）若x∈R，不等式（1+x）（1+x2）（1+x3）≥8x3是否仍然成立？如果仍成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．
（选做题）在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（B）（选修4-2：矩阵与变换）
二阶矩阵M有特征值λ=8，其对应的一个特征向量e=
1
1
，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成点（-2，4），求矩阵M2．
（C）（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为
x=-
3
t
y=1+t
（t为参数，t∈R）．试在曲线C上一点M，使它到直线l的距离最大．
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的非负半轴重合．曲线C1的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，曲线C2的参数方程为
x=2+tcosα
y=tsinα
（t为参数）．
（1）求曲线C1的直角坐标方程及α=
π
3
时曲线C2的普通方程；
（2）设E（2，0），曲线C1与C2交于点M、N，若ME=2NE，求MN的长．
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参数方程为
x=tcosα
y=tsinα.
（t为参数，α为直线l的倾斜角），圆C的极坐标方程为ρ2-8ρcosθ+12=0．若直线l与圆有公共点，则倾斜角α的范围为
[0，
π
6
]∪[
5π
6
，π）
[0，
π
6
]∪[
5π
6
，π）
．

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