Question

设命题p：关于x的方程4x²+4（a-2）x+1=0有实数根；命题q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域是R．若“p或q”为真，“p且q”为假，求a的取值范围．

Answer 1

若命题p：关于x的方程4x²+4（a-2）x+1=0有实数根为真命题，则△=[4（a-2）]²-4×4×1≥0，
即a≤1或a≥3，所以，是命题p为真命题的a的取值范围是{a|a≤1或a≥3}；
使命题p为假命题的实数a的取值范围是{a|1＜a＜3}；
若命题q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域是R为真，则

a＞0 (-1)2-4a2＜0

，解得：a＞

1

2

．
所以，使命题q为真命题的a的取值范围是{a|a＞

1

2

}；
使命题q为假命题的实数a的取值范围是{a|a≤

1

2

}；
由“p或q”为真，“p且q”为假，得：p真q假或p假q真，
若p真q假，则a的取值范围是{a|a≤1或a≥3}∩{a|a≤

1

2

}={a|a≤

1

2

}；
若p假q真，则a的取值范围是{a|1＜a＜3}∩{a|a＞

1

2

}={a|1＜a＜3}．
综上，使“p或q”为真，“p且q”为假的a的取值范围是（-∞，

1

2

]∪（1，3）．